[同步]2014年新人教A版选修4-5 4.2数学归纳法证明不等式举例（带解析）

1. 用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）

A．2k﹣1

B．2k﹣1

C．2k

D．2k+1

2. 用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（ ）

A．7

B．8

C．9

D．10

3. 用数学归纳法证明：（n∈N^*）时第一步需要证明（ ）

A．

B．

C．

D．

1. 用数学归纳法证明2ⁿ≥n²（n∈N，n≥1），则第一步应验证     ．

2. 用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是     

3. 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•…•（2n﹣1）”（n∈N₊）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是     ．

4. 设，则f（k+1）﹣f（k）=    ．

1. （2011•河池模拟）已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²﹣a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项积为T_n，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有T_n＞．

2. （2008•武汉模拟）在数列|a_n|中，a₁=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ﹣1）=a_n（tⁿ⁺¹﹣1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

3. （2005•辽宁）已知函数f（x）=（x≠﹣1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n﹣|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤；
（Ⅱ）证明S_n＜．

4. 证明不等式（n∈N^*）

5. 用数学归纳法证明不等式：+++…+＞1（n∈N^*且n＞1）．

6. 已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

7. 试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹     （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹     （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹     （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹     （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．