2015届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试理科数学试卷（带解析）

1. 若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数       .

2. 已知数列满足，，，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为       .

3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数. 如果对于，，使得，则实数的取值范围是       .

4. 在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则       .

5. 设向量，，则“”是“”成立的       条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .

6. 若实数满足，且，则的最小值为       .

7. 若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则       .

8. 若变量满足，则的最大值为       .

9. 运行如图所示的程序后，输出的结果为       .

10. 若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则       .

11. 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为       .

12. 在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是       .

13. 设集合，集合，若，则       .

14. 若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为       .

1. （本题满分10分）设集合，是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.
（1）求的值；
（2）求的表达式.

2. （本题满分10分）如图，在直三棱柱中，，，，动点满足，当时，.

（1）求棱的长；
（2）若二面角的大小为，求的值.．

3. 解不等式

4. 在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离.

5. 求直线在矩阵的变换下所得曲线的方程

6. 如图，已知点为的斜边的延长线上一点，且与的外接圆相切，过点作的垂线，垂足为，若，，求线段的长.

7. 已知函数，.
（1）设.
① 若函数在处的切线过点，求的值；
② 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；
（2）设函数，且，求证：当时，.

8. 设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列满足：对任意的正整数，都有
，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.

9. 某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.

（1）若要求米，米，求与的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；
（3）若，求的最大值.
（参考公式：若，则）

10. 在平面直角坐标系中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，
上顶点为，右焦点为，斜率为的直线经过点，且点到直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当三点共线时，试确定直线的斜率.

11. 如图，在正方体中，分别为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.

12. 在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记.

（1）求函数的值域；
（2）设的角所对的边分别为，若，且，，求.