2015届上海市闸北区高三上学期期末练习文科数学试卷（带解析）

1. “”是“关于的二元一次方程组有唯一解”的 

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2. 已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是                

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

3. 对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素是集合对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素是集合对普通乘法的单位元素．
下面给出三个集合及相应的运算“”：
①，运算“”为普通减法；
②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法；
③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．
其中对运算“”有单位元素的集合序号为                              

A．①②

B．①③

C．①②③

D．②③

1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数      ．

2. 若为奇函数，当时，，则      ．

3. 设动点在函数图像上，若为坐标原点，则的最小值为       ．

4. 用数字“”组成一个四位数，则数字“”都出现的四位偶数有        个．

5. 设，圆的面积为，则      ．

6. 在中，，是斜边上的两个三等分点，则的值为        ．

7. 设函数，若存在，使得对任意的，都有成
立．则关于的不等式的解为        ．

8. 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为       ．

9. 关于曲线，给出下列四个结论：
①曲线是椭圆；              
②关于坐标原点中心对称；
③关于直线轴对称；       
④所围成封闭图形面积小于8．
则其中正确结论的序号是        ．（注：把你认为正确命题的序号都填上）

1. 请仔细阅读以下材料：
已知是定义在上的单调递增函数．
求证：命题“设，若，则”是真命题．
证明：因为，由得．
又因为是定义在上的单调递增函数，
于是有．     ①
同理有．     ②
由①+ ②得．
故，命题“设，若，则”是真命题．
请针对以上阅读材料中的，解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设，若，则：”是真命题；
（2）解关于的不等式（其中）．

2. 已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）直线过椭圆的右焦点且斜率为与椭圆交于两点，求弦的长；
（3）以第（2）题中的为边作一个等边三角形，求点的坐标．

3. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．

（1）求曲线段的函数表达式；
（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；
（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．

4. 设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．
（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；
（2）设，求数列的伴随数列的前之和；
（3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列
的前项和．