2015届江苏省宿迁市高三上学期第一次摸底考试数学试卷（带解析）

1. 若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是    ．

2. 已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是    ．

3. 如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是    ．

4. 已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点， 则反射光线所在直线的方程是     ．

5. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集是     ．

6. 如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且M为的中点，则三棱锥的体积是     ．

7. 若，，是实数，则的最大值是    ．

8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是     ．

9. 若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是     ．

10. 已知是等差数列，若，则的值是    ．

11. 在如图所示的算法中，输出的的值是     ．

12. 若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，…，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是     ．

13. 已知集合，，则=     ．

14. 若，则的值是     ．

1. 已知数列的各项均为正整数，对于任意n∈N^*，都有 成立，且．
（1）求，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并给出证明．

2. （本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，，．

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．

3. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程．

4. 已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A．

5. 已知数列是等差数列，其前n项和为S_n，若，．
（1）求；
（2）若数列{M_n}满足条件： ，当时，－，其中数列单调递增，且，．
①试找出一组，，使得；
②证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．

6. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；
（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

7. 已知函数（其中是自然对数的底数），，．
（1）记函数，且，求的单调增区间；
（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．

8. 如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近 的一点，为圆周上靠近 的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值.

9. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．

（1）求证：；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．

10. 已知的内角的对边分别为，．
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值．