- 试题详情及答案解析
- （本小题10分）如图，已知抛物线
：
，过焦点
斜率大于零的直线
交抛物线于
、
两点，且与其准线交于点
．
（Ⅰ）若线段
的长为
，求直线的方程；
（Ⅱ）在上是否存在点
，使得对任意直线，直线
，
，
的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.- 答案：（1）
．（2）
均用
表示- 试题分析:第一步是抛物线焦点弦长公式和焦半径公式的应用，首先设出直线方程，和抛物线方程联立求
出
，使用公式
，列方程求出
；第二步首先假设存在于是巧设点（运算简单），
表达出三个斜率使其成等差数列，注意在整理时要有减元意识，把均用表示，最后借助
，
，转化为只含有
的关系，利用恒成立求出
，达到解题的目的.
试题解析：（Ⅰ）焦点
，∵直线
的斜率不为
，所以设
，设
，
，
联立方程组
，得：
，则
，
而
，
，
所以
∴直线
的斜率
，
，
.
∴直线的方程为
（Ⅱ）设在上是否存在点
，首先求出
，
，
，同理
，由于直线，，的斜率始终成等差数列，则
恒成立，
，
，
，把代入后得：
恒成立，则
.
存在点
或
使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列.
考点：1. 抛物线焦点弦长公式和焦半径公式;2.巧设点；3.恒成立问题；4.存在性问题；