- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知抛物线
的顶点为坐标原点，焦点为
．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点
为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线
与
，切点分别为
，求证：直线
恒过某一定点；
（Ⅲ）分析（Ⅱ）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（Ⅱ）进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．- 答案：（Ⅰ）
; （Ⅱ）直线恒过定点
; （Ⅲ）详见解析. - 试题分析：（Ⅰ）依题意可设抛物线的方程为：
（
）．由焦点为可知
，所以
．即可求出抛物线的方程.（Ⅱ）方法一：设切点
、
坐标分别为
，由（Ⅰ）知，
．
则切线
的斜率分别为
，故切线的方程分别为
，
， 联立以上两个方程，得的坐标为
，
因为点在抛物线的准线上，所以
，即
．设直线的方程为
，代入抛物线方程，可得直线恒过定点． 方法二：设切点、坐标分别为
，设
，
易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为
．
由
，消去
并整理得
因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以
， 可得
， 假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴上，设该定点为
， 则
．又
，可得
，所以直线过定点
． （Ⅲ）根据直线与抛物线的位置关系的性质即可得到结论.
试题解析：解：（Ⅰ）依题意可设抛物线的方程为：（）． 1分
由焦点为可知，所以． 2分
所以所求的抛物线方程为． 3分
（Ⅱ）方法一：
设切点、坐标分别为，由（Ⅰ）知，．
则切线的斜率分别为，
故切线的方程分别为，， 4分
联立以上两个方程，得
.故的坐标为， 5分
因为点在抛物线的准线上，所以，即． 6分
设直线的方程为，代入抛物线方程，得
，
所以
，即
，所以
． 7分
故的方程为
，故直线恒过定点． 8分
方法二：设切点、坐标分别为，设，
易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为．
由，消去并整理得． ①
因为切线与抛物线有且只有一个交点，
所以，整理得
， ②
所以直线斜率
为方程②的两个根，故， 4分
另一方面，由
可得方程①的解为
，
所以
． 5分
假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴
上，设该定点为， 6分
则．
所以，
所以
，整理得
所以
，
所以 7分
所以直线过定点． 8分
（Ⅲ）结论一：若点为直线
（
）上的任意一点，过点作抛物线
（）的切线
，切点分别为
，则直线恒过定点
． 12分
结论二：过点
（
）任作一条直线交抛物线
于两点，分别以点为切点作该抛物线的切线，两切线交于点，则点必在定直线
上． 12分
结论三：已知点
为直线
上的一点，若过点可以作两条直线与抛物线
（
）相切，切点分别为，则直线
恒过定点
． 12分.
考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.