- 试题详情及答案解析
- （本小题9分）. 如图所示，
⊥平面
，
，
，
为
中点．
（1）证明：
；
（2）若
与平面
所成角的正切值为
，求二面角
--的正弦值．- 答案：（1）证明见解析，（2）
- 试题分析：欲证
，只需证明
，⊥平面，有
，又由已知，所以即可；第二步求二面角，先建立空间直角坐标系，过
作
的平行线
，以为原点，分别以，
为
轴，建立空间直角坐标系
，写出相应点的
坐标，分别求平面
和平面
的法向量的法向量，最后求出二面角的余弦值，在化为正弦值即可.
试题解析：（1）因为⊥平面，
，有，又由已知，
所以，又
，则；
（2）因，
为
在平面
内的射影，
为与平面所成角，不妨设
，
，则
，
，过作的平行线，
以为原点，分别以，为轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），
，设平面的法向量为
，因
，
，
，
，
，设
平面的法向量
，
，
，
，
，
，
，设二面角为
，因为二面角是锐角，则
，
.
考点：1.面面垂直的判定和性质；2.利用法向量求二面角；3.直线和平面所成的角