- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
，其中
是自然对数的底数．
（Ⅰ）判断函数
在
内的零点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）
，使得不等式
成立，试求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若
，求证：
．- 答案：（Ⅰ）函数在上的零点的个数为1; （Ⅱ）
;（Ⅲ）详见解析. - 试题分析：（Ⅰ）因为
，所以
．因为
，所以
，所以函数
在上是单调递增函数．因为
，
，根据函数零点存在性定理得函数在上的零点的个数为1．（Ⅱ）因为不等式等价于
，所以 
，使得不等式成立，等价于
，即
．利用导数，解不等式即可求出结果；（Ⅲ）采用分析证明发，利用导数在函数单调性中的应用，以及直线与圆的位置关系即可求证结论.
试题解析：解：（Ⅰ）函数在上的零点的个数为1． 1分
理由如下：
因为，所以． 2分
因为，所以，
所以函数在上是单调递增函数． 3分
因为，，
根据函数零点存在性定理得
函数在上的零点的个数为1． 4分
（Ⅱ）因为不等式等价于，
所以 ，使得不等式成立，等价于
，即． 6分
当
时，
，故
在区间
上单调递增，所以
时，
取得最小值
． 7分
又
，由于
，
所以
，故
在区间上单调递减，
因此，时，取得最大值
． 8分
所以
，所以
．
所以实数的取值范围是． 9分
（Ⅲ）当
时，要证
，只要证
，
只要证
，
只要证
，
由于
，只要证
． 10分
下面证明时，不等式成立．
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，单调递增．
所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1．
令
，其可看作点
与点
连线的斜率，
所以直线
的方程为：
，
由于点
在圆
上，所以直线与圆相交或相切，
当直线与圆相切且切点在第二象限时，
直线取得斜率
的最大值为
． 12分
故时，
；
时，
． 13分
综上所述，当时，成立． 14分.
考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.导数在不等式证明中的应用；3.恒成立问题.