- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知函数
在同一半周期内的图象过点
，其中
为坐标原点，
为函数
图象的最高点，
为函数的图象与
轴的正半轴的交点.
（Ⅰ）求证：
为等腰直角三角形.
（Ⅱ）将绕原点按逆时针方向旋转角
，得到
，若点
恰好落在曲线
上（如图所示），试判断点
是否也落在曲线上，并说明理由．- 答案：（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）点不落在曲线上.
- 试题分析：（Ⅰ）因为函数
的最小正周期
，所以函数的半周期为4，故
． 又因为为函数图象的最高点，所以点坐标为
，故
，又因为坐标为
，所以
，根据勾股定理，即可证明为等腰直角三角形. （Ⅱ）
由（Ⅰ）知，，所以点,的坐标分别为
,
， 因为点在曲线上，所
，根据角的范围，化简可得
，所以点不落在曲线上．
试题解析：解：（Ⅰ）因为函数的最小正周期， 1分
所以函数的半周期为4，
故．2分
又因为为函数图象的最高点，
所以点坐标为，故，3分
又因为坐标为，所以，
所以
且
，所以为等腰直角三角形. 5分
（Ⅱ）点不落在曲线上. 6分
理由如下：
由（Ⅰ）知，，
所以点,的坐标分别为,， 8分
因为点在曲线上，
所以
，
即
，又
，所以
. 10分
又
.
所以点不落在曲线上． 12分
考点：1.三角函数的图象与性质、三角函数的定义；2.二倍角公式.