- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知函数
在同一半周期内的图象过点
，其中
为坐标原点，
为函数
图象的最高点，
为函数的图象与
轴的正半轴的交点．
（Ⅰ）试判断
的形状，并说明理由．
（Ⅱ）若将绕原点按逆时针方向旋转角
时，顶点
恰好同时落在曲线
上（如图所示），求实数
的值．- 答案：（Ⅰ）为等边三角形; （Ⅱ）
- 试题分析：解法一：（Ⅰ） 因为函数，所以
，所以函数的半周期为4，
所以
． 又因为为函数图象的最高点，所以点坐标为
，所以
， 又因为坐标为
，所以
，所以为等边三角形． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，所以点
,
的坐标分别为
,
，代入，得
，且
， 所以
，即可求出结果.解法二：（Ⅰ）因为函数，所以，所以函数的半周期为4，所以， 因为为函数的图象的最高点，所以点坐标为，所以，所以
． 又因为直线
的斜率
，所以
，所以为等边三角形．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以点,的坐标分别为
,，
因为点,在函数
的图象上， 所以
,可得
，所以
，进而求出结果.解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为等边三角形．因为函数的图象关于直线
对称， 由图象可知，当
时，点,恰在函数的图象上． 此时点的坐标为
， 所以
，所以所求的实数的值为4．
试题解析：解法一：（Ⅰ）为等边三角形． 1分
理由如下：
因为函数，
所以，所以函数的半周期为4，
所以． 2分
又因为为函数图象的最高点，
所以点坐标为，所以， 4分
又因为坐标为，所以，
所以为等边三角形． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以点,的坐标分别为,， 7分
代入，得
，
且， 9分
所以，结合
，
，
解得
， 11分
所以，所以所求的实数的值为4． 12分
解法二：（Ⅰ）为等边三角形． 1分
理由如下：
因为函数，
所以，所以函数的半周期为4，所以， 2分
因为为函数的图象的最高点，
所以点坐标为，所以，所以． 4分
又因为直线的斜率，所以，
所以为等边三角形． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以点,的坐标分别为,， 7分
因为点,在函数的图象上，
所以
, 8分
所以, 9分
消去得， ，
所以
，
所以，所以， 10分
又因为 ，所以
，所以， 11分
所以．所以所求的实数的值为4． 12分
解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为等边三角形．
因为函数的图象关于直线对称， 8分
由图象可知，当时，点,恰在函数的图象上． 10分
此时点的坐标为， 11分
所以，所以所求的实数的值为4． 12分.
考点：1.三角函数图象与性质；2.数形结合思想.