- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用
（
且
）个单位的药剂，药剂在血液中的含量
（克）随着时间
（小时）变化的函数关系式近似为
，其中
（Ⅰ）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（Ⅱ）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用
个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求的最小值．- 答案：（Ⅰ）
; （Ⅱ）
- 试题分析：（I）因为
，所以
根据分段函数解不等式即可求出结果;（Ⅱ）当
时，
， 因为
对恒成立，
利用分离参数法，即
对恒成立，等价于
，利用二次函数的性质即可求出结果. 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）当时，
， 注意到
及
（且）均关于
在
上单调递减，则
关于在上单调递减，根据函数的单调性，解不等式即可求出结果.
试题解析：解：（I）因为，所以． 1分
当
时，由
，解得
，此时； 3分
当
时，由
，解得
，此时
． 5分
综上所述，
．
故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达小时． 6分
（Ⅱ）当时，
， 8分
因为对恒成立，
即对恒成立，
等价于，． 9分
令
，则函数
在
是单调递增函数， 10分
当
时，函数取得最大值为， 11分
所以
，所以所求的的最小值为． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）当时，， 8分
注意到及（且）均关于在上单调递减，
则关于在上单调递减， 10分
故
，由
，得， 11分
所以所求的的最小值为． 12分.
考点： 1.分段函数模型的应用问题；2.一元二次函数的最值；3.解不等式等.