- 试题详情及答案解析
- 如图，已知抛物线的对称轴为直线
：
且与
轴交于点
与
轴交于点
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究在此抛物线的对称轴上是否存在一点
，使
的值最小？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以
为直径作⊙
,过点作直线
与⊙相切于点
，交轴于点
，求直线的解析式．- 答案：解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：
∵抛物线经过
、.
∴
解得：a=
，
.
∴
，
即：
.
（2）存在.
令
， 得
即
，
抛物线与轴的另－交点
.
如本题图2，连接
交于点，则点即是使的值最小的点.
因为
关于对称，则
,
,即的最小值为
.
∵
,
的最小值为
；
（3）如图3，连接
，∵是⊙的切线,
∴
,
由题意，得
∵在
中,
，
∴
，
,
设
，则
,
则在
△
中，又
，
∴
,解得
，
∴（
，0）
设直线的解析式为
，∵直线过（0，2）、（，0）两点，
，解方程组得：
.
∴直线的解析式为
. - 试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为，将、代入解析式，即可求出a，k的值，得出抛物线的解析式，令，即可求出抛物线与轴另－交点；（2）连接交于点，则点即是使的值最小的点. 则的最小值为，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求出BC的值；（3）连接，根据已知条件可得
，根据全等三角形的对应边相等可得
，在△中，根据勾股定理求出OD，即可得出D点坐标，设直线的解析式为，代入C，D两点坐标，即可解得直线的解析式.
考点：二次函数的综合题.
点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，也考查了二次函数与圆的综合，本题综合性强，有一定难度.