- 试题详情及答案解析
- （2014•郴州三模）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的一个聚点．则在下列集合中：
（1）Z+∪Z﹣；
（2）R+∪R﹣；
（3）{x|x=
，n∈N*}；
（4）{x|x=
，n∈N*}．
其中以0为聚点的集合有（ ）- 答案：B
- 试题分析：根据集合聚点的新定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．
解：（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z﹣，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z﹣的聚点；
（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=
（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a，
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；
（3）集合{x|x=
，n∈N*}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞
，使0＜|x|=＜a，
∴0是集合 {x|x=，n∈N*}的聚点；
（4）中，集合{x|x=
，n∈N*}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大
，
∴在a＜
的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{x|x=
，n∈N*}的聚点；
故选：B
点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．