- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．- 答案：（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）2.5，2.4．
- 试题分析：（1）利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE，进而得出∠DAC=∠DBA；
（2）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案；
（3）利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．
试题解析：（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，∴PA=PF，即P是线段AF的中点；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD，
∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的长为2.4．
考点：圆的综合题．