- 试题详情及答案解析
- （本题满分10分）已知：△ABC是边长为6的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．- 答案：（1）证明见试题解析；（2）2．
- 试题分析：（1）连接OE．欲证直线EF是⊙O的切线，只需证明EF⊥AC．利用等边三角形的三个内角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的内角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°，从而判定OE∥AC，所以由已知条件EF⊥AC判定OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；
（2）连接DF．设⊙O的半径是r．由等边三角形的三个内角都是60°、三条边都相等、以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半求得关于
的方程
，解方程即可．
解答：（1）证明：连接OE．
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°；
在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，∴∠BOE=∠A=60°，
∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；
∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DF．
∵DF与⊙O相切，∴∠ADF=90°．
设⊙O的半径是，则EB=，EC=
，AD=
．
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴AF=2AD=
．∴FC=
；
在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，
∴，解得，
；∴⊙O的半径是2．
考点：1．切线的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．