- 试题详情及答案解析
- （本小题14分）如图，已知某椭圆的焦点是
，过点
并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
，椭圆上不同的两点
满足条件：
、
、
成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦
中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦的垂直平分线的方程为
，求m的取值范围．- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）中点的横坐标为
；（Ⅲ）
．- 试题分析：（Ⅰ）根据题意及椭圆的定义可知，所求椭圆的焦点为
，长轴为
，再利用
，进一步求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据椭圆的第二定义知
，
，同时由
成等差数列得到：
，所以的中点坐标为；（Ⅲ）设
带入椭圆方程利用点差法得到：
再利用中点坐标公式和斜率公式，得到：
（当
时也成立）①，点
在弦的垂直平分线
上，得到
②．联立①②，得到
，又因为点在线段
上，所以
，进而求得
的取值范围为：．
试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义及条件知，
,得a=5,又c=4,
所以b=
=3．故椭圆方程为：．
（Ⅱ）由点
在椭圆上，得
．因为椭圆右准线方程为
,离心率为
，根据椭圆定义，有
，
由、、成等差数列，得
,由此得出：
．
设弦的中点为
,则
．
（Ⅲ）：由在椭圆上．
得①
②
①－②得，
即9
=0（x1≠x2）
将
（k≠0）代入上式，
得
即
（当k=0时也成立）．
由点
在弦的垂直平分线上，得
,
所以
．
由点在线段
（
与B关于x轴对称）的内部，得
,所以
考点：1．椭圆的标准方程；2．中点坐标公式；3．点差法．