- 试题详情及答案解析
- （12分）设
,且
.
（1）求
的解析式；
（2）判断在
上的单调性并用定义证明；
（3）设
，求集合
.- 答案：（1）
；（2）
上单调递减，证明见解析；（3）
- 试题分析：（1）根据题意将
代入
，进而求得
，得到
的解析式；（2）利用（1）求得的解析式，再利用函数单调性的定义其单调性：在内任取
且，进而用作差法比较
和
的大小，进而得到结论；（3）方程
即为
有两个不同的解，令
，此函数为复合函数，令
用换元法，转化为方程
在
内有两个不同的解，分离变量为：
，进而转化为求关于
的二次函数的值域问题，得到
的取值范围.
试题解析：（1）∵,且
∴
，
∵
，∴
（2）上单调递减，证明如下：
设
∵ ∴
∴
∴
，∴
∴
∴上单调递减
（3）方程为
，令
，则
方程在内有两个不同的解
由图知
时，方程有两个不同解
∴
考点：1.函数的解析式；2.证明函数的单调性；3.二次函数的最值.