- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）设
上的两点，已知
，
，若
且椭圆的离心率
短轴长为2，
为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
;（Ⅲ）是. - 试题分析：（Ⅰ）短轴长为
，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）假设存在的直线，联立直线方程与椭圆方程，消去
，得到关于
的一元二次方程，利用韦达定理求出
再根据，即可解出；（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在，
（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b，联立直线方程与椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出利用弦长公式求出
，利用点到直线距离公式求出高，则
所以三角形的面积为定值.
试题解析：（Ⅰ）
椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为
由已知
得：
（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即
,由得
又 
在椭圆上，所以
所以三角形的面积为定值
（2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
所以三角形的面积为定值.
考点：1、求椭圆方程；2、直线与椭圆的相交问题；3、弦长公式.