- 试题详情及答案解析
- （本小題满分12分）已知数列
满足
，且对任意非负整数
均有：
．
（1）求
；
（2）求证：数列
是等差数列，并求
的通项；
（3）令
，求证：
- 答案：（1）
，
；（2）
；（3）证明见解析．- 试题分析：（1）根据题意恰当的进行赋值，求数列中某些项的值；（2）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明
；二是等差中项法，证明
，看是否从第一箱开始，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可；（3）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．（4）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减．
试题解析：解：（1）令
得
， 1分
令
，得
，∴
2分
（2）令
，得：
∴
，又
，
∴数列
是以2为首项，2为公差的等差数列．∴
∴
∴
8分
（3）
∴
∴
12分
考点：1、证明某数列等差数列；2、裂项求和．