- 试题详情及答案解析
- （本小題满分13分）已知椭圆
:
的焦距为
,离心率为
,其右焦点为
,过点
作直线交椭圆于另一点
．
（1）若
,求
外接圆的方程;
（2）若过点
的直线与椭圆
相交于两点
、
，设
为
上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数
的取值范围．- 答案：（1）
，
；
（2）
，或
． - 试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出
的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．
试题解析：解：（1）由题意知：
，
，又
，
解得：
椭圆的方程为：
2分
可得：
，
,设
，则
，
，
，
，即
由
，或
即
，或
4分
①当的坐标为
时，
，外接圆是以为圆心，
为半径的圆，即
5分
②当的坐标为
时，
，
，所以为直角三角形，其外接圆是以线段
为直径的圆，圆心坐标为
，半径为
，
外接圆的方程为
综上可知：外接圆方程是，或 7分
（2）由题意可知直线
的斜率存在．
设
，
，
，
由
得：
由
得：
（
） 9分
，
即
，结合（）得： 11分
，
从而
，
点在椭圆上，
，整理得：
即
，
，或
13分
考点：1、求三角形的外接圆方程；2、直线与椭圆的综合问题．