- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
．
（1）求
的单调区间与极大值；
（2）任取两个不等的正数
，且
，若存在
使
成立，求证：
；
（3）已知数列
满足
，
（n∈N+），求证：
（
为自然对数的底数）．- 答案：（1）g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），g（x）的极大值是g（0）=0；（2）证明见解析；
（3）证明见解析． - 试题分析：（1）函数
在某个区间内可导，则若
，则
在这个区间内单调递增，若
，则在这个区间内单调递减；（2）求函数的极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数
；（3）解方程
，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验在的根
左右两侧的符号，如果在附近的左侧，右侧，那么
是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；（3）利用导数方法证明不等式
在区间
上恒成立的基本方法是构造函数
，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数
，其中一个重要的技巧就是找到函数
在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式．
试题解析：解：（1）由已知有=
，
于是
．
故当x∈（-1，0）时，
>0；当x∈（0，+∞）时，<0．
所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），
g（x）的极大值是g（0）=0． 4分
（2）因为
，所以
=
，于是
=
=
=
=
，
令
="t" （t>1），
，
因为
，只需证明
．
令
，则
，
∴
在
递减，所以
，
于是h（t）<0，即
，故
．
仿此可证
，故
． 10分
（3）因为
，
，所以
单调递增，
≥1．
于是
，
所以
．（*）
由（1）知当x>0时，
<x．
所以（*）式变为
．
即
（k∈N，k≥2），
令k=2，3， ， n，这n-1个式子相加得
=
=
，
即
，所以
． 14分
考点：1、利用导数求函数的单调区间和极值；2、证明不等式．