- 试题详情及答案解析
- 如图，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中点，AH平分∠CAF，作CD⊥AH于D。
(1)证明四边形ABCD是矩形。
(2)若BD交AC于O，证明：OB//AF且OB= 
AF。
(3)若使四边形ABCD是正方形，需添加一个条件，请直接写出该条件。- 答案：
- 试题分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知AF=AC，CD⊥AH，所以求证∠BAD=90°，可以证明四边形ADCE为矩形；
（2）根据∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分线，∠AFC=∠ACF，可以求证AD∥FB，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，B是CF的中点，所以有AD=FB，可以证明四边形AFBD是平行四边形，由三角形中位线定理可以证明OB∥AF且OB=AF；
（3）给出正确条件即可．我们可以假设当AB=FC，由已知可得，BC=FC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得四边形ADCE为正方形．
试题解析：（1）证明：由题意∠F=∠ACF
∠CAH=∠EAH
又∠F+∠ACF=∠CAH+∠EAF
∴∠ACF=∠ECH
∴AD∥CF
又∠ABC=90° ∴∠BCD=90°
∠CDA=90°
∴四边形ABCD是矩形
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴AO=OC，
又BF=BC
∴OB
AF
（3）FB=BC
考点：矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质