- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知离心率为
的椭圆
与直线
相交于
两点（点
在
轴上方），且
．点
是椭圆上位于直线
两侧的两个动点，且
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）求四边形
面积的取值范围．- 答案：
，（0,4） - 试题分析：（Ⅰ）由已知得
，则
，设椭圆方程为
由题意可知点
在椭圆上，
所以
．解得
．
故椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．
因为，所以
．
设直线PA的斜率为k，则直线
．
由
，得
……(1).
依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式
成立.
即
,
化简得
，解得
.
因为2是方程（1）的一个解，所以
．
所以
．
当方程（1）根的判别式
时，
，此时直线PA与椭圆相切.
由题意，可知直线PB的方程为
．
同理，易得
．
由于点A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，，
且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足
.
设四边形APBQ面积为S，则
由于，故
.
当时，
，即
，即
.
(此处另解：设
，讨论函数
在
时的取值范围.
，则当
时，
，
单调递增.
则当时，
，即.)
所以四边形APBQ面积S的取值范围是
.
考点：本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系
点评：由已知条件可得到，求得椭圆方程，联立直线与椭圆，用弦长来表示四边形APBQ的面积，求最值