- 试题详情及答案解析
- （13分）已知函数
，
.
（1）求函数
的极大值和极小值;
（2）求函数图象经过点
的切线的方程；
（3）求函数的图象与直线
所围成的封闭图形的面积.- 答案：（1）极大值1，极小值
；（2）y=1或
；（3）
- 试题分析：解：（1）
，
令
，解得x=0或x=1，
令
，得x<0或x>1，
，解得0<x<1，
∴函数f(x)在
上单调递增，在(0,1)上单调递减，在
上单调递增
∴x=0是其极大值点，x=1是极小值点，
所以f(x)的极大值为f（0）=1； f(x)的极小值为
（2）设切点为P
，切线斜率
∴曲线在P点处的切线方程为
，把点
代入，得
，所以切线方程为y=1或；
（3）由
，
所以所求的面积为
.
考点：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，求极值，导数的应用
点评：解决本题的关键是第二问经过点的切线，此点未必是切点，应设出切线，注意导数的几何意义；（3）求封闭曲线围成的面积，应用定积分，注意求出函数f(x)与直线y=1的交点，这是边界