- 试题详情及答案解析
- （本小题共14分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；
（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S-ABC的体积．- 答案：1
- 试题分析：（Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．
因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，
所以 FP∥CD，且FP=
CD．
又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，
所以 AQ∥CD，且AQ =CD．
所以 FP//AQ且FP=AQ．
所以 AQPF为平行四边形．
所以 PQ//AF．
又因为
平面
，
平面，
所以 PQ//平面SAD ． 5分
（Ⅱ）证明：连结BD，
因为 △SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，
所以 SE⊥AD．
又 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD 
平面ABCD=AD，
SE
平面，
所以 SE⊥平面ABCD，
所以SE⊥AC．
因为 底面ABCD为菱形，
E，Q分别是棱AD，AB的中点，
所以 BD⊥AC，EQ∥BD．
所以 EQ⊥AC，
因为 SE
EQ=E，
所以 AC⊥平面SEQ． 11分
（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，
所以
．
因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=
．
由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，
所以三棱锥S-ABC的体积 
=
． 14分
考点：本题考查立体几何问题，线面平行的判定，线面垂直的判定，以及体积
点评：注意判定定理，求体积关键在于找高