- 试题详情及答案解析
- （本题满分15分）在数列
中，
，当
时，满足
．
（Ⅰ）求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）令
，数列
的前
项和为
，求使得
对所有
都成立的实数
的取值范围．- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）满足题意的实数
的取值范围为
.- 试题分析：（Ⅰ）求证：数列
是等差数列，只需证明
等于一个与无关的常数，由已知，，只需将式子整理得，
，两边同除以
即可，求数列的通项公式，因为数列是以
为首项，
为公差的等差数列，可写出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）求使得对所有都成立的实数的取值范围，将式子整理为
，只需求出
的最大值，须求出
的解析式，首先求出数列的通项公式，由
，可用拆项相消法求得的解析式，进而可得实数的取值范围．
试题解析：（Ⅰ），两边同除以
得
，即数列
是等差数列，首项
，公差
；
（Ⅱ）
由题意
即
对于所有
都成立，
设
即
函数
在
上是减函数，在
上是增函数，故数列
从第二项起递减，而
，
满足题意的实数的取值范围为.
考点：等差数列的判断，求数列的通项公式.