- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分） 已知函数
.
（Ⅰ）若
不等式
的解集为
，
，求
的取值范围；
（Ⅱ）若
为整数，
，且函数
在
上恰有一个零点，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数
对任意的x∈
，有
恒成立，求实数
的最小值.- 答案：（Ⅰ）（2，+∞）（Ⅱ）
（Ⅲ）1. - 试题分析：（Ⅰ）本题为线性规划求范围问题，先列出可行域：由题知
，以a为x轴，b为y轴建立直角坐标系，由图可知直线
过点
取最小值2，（Ⅱ）本题先分一次函数与二次函数讨论：
时，f(x)=－2x+1,零点为
，不合，舍去；
时，∵ ∴ 
，
，∴函数必有两个零点，再根据零点存在定理列函数在上恰有一个零点的充要条件：
，又
，∴ （Ⅲ）先化简不等式：
对任意的x∈恒成立，即
，令t(x)= 
，则
，
，在（1，+∞）上单调增，
∴t(x) = 在（1，+∞）单调增，
,从而
实数的最小值为1.
试题解析：解：（Ⅰ）由题知
∈（2，+∞）
（Ⅱ）时，f(x)=－2x+1,零点为，不合，舍去；
时，∵ ∴ ，，
∴函数必有两个零点，
又函数在上恰有一个零点，∴
，又，∴
（Ⅲ）
，
， 整理得
令H(x)= 
，
，
在（1，+∞）上单调增，又
，>0,
∴H(x) = 在（1，+∞）单调增，
，k≥1,k的最小值为1.
考点：函数零点，不等式恒成立