- 试题详情及答案解析
- （本题满分15分） 如图
，在
中，
°，
，
，
，
分别是
，
上的点，且
，
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
是
的中点，求
与平面
所成角的大小；
（Ⅲ）点
是线段
的靠近点的三等分点，点
是线段
上的点，直线
过点
且垂直于平面，求点到直线的距离的最小值．- 答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
与平面
所成角的大小
；（Ⅲ）点到直线的距离有最小值
. - 试题分析：（Ⅰ）求证：平面，只需证明
垂直平面内两条相交直线即可，而，只需再找一条直线垂直即可，结合折叠前图形可知，
平面
，可得
，从而可得平面；（Ⅱ）求与平面所成角的大小，可用向量法来求，注意到
这三条直线两两垂直，因此可以它们建立如图空间坐标系，写出各点的坐标，得向量
，设平面法向量为
，求出一个法向量，利用线和面所成角的正弦值等于线和法向量所成角的余弦值，即可；（Ⅲ）点到直线的距离的最小值，像这种点不确定可用向量法来解，先确定点的坐标为
，利用
三点共线，可设
，
，
，可得在直线上的射影为
的坐标，利用两点间距离公式，与二次函数可得点到直线的距离有最小值.
试题解析：（Ⅰ）
由题
，
，
平面，又
平面，
又
，
平面
．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
∴
，
设平面法向量为
则
∴
∴
∴不妨取
又∵
∴
∴
，
∴与平面所成角的大小．
（Ⅲ）设
，则
，
由题
，即
设
，
， 
设
，即
=
，
，
即，，
设点在直线上的射影为， 则
点到直线的距离的平方
由题
，故当
时，点到直线的距离有最小值
考点：线面垂直的判定，线面角的求法，点到直线的距离.