- 试题详情及答案解析
- （本题满分15分）设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，过与
垂直的直线交
轴负半轴于
点，且
．
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆的方程；
（Ⅲ）过的直线
与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点
、
，则
的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）椭圆的方程为
；（Ⅲ）存在，直线的方程为
. - 试题分析：（Ⅰ）由
，
，由 ,可知为
的中点，由此可得，
，设
,知
，
， 由题意可知， 
，即得
，，进一步计算可求出离心率的值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知
，可求出
的外接圆圆心为
，即
，半径
,所以再利用圆心到直线的距离等于半径
,可得到关于的方程，解出值，从而得到椭圆的方程.（Ⅲ）这是探索性命题，一般先假设存在，
可设
，
，由题
异号, 的内切圆的面积最大，只需
最大，此时
也最大，而
，所以可设直线的方程为
,直线与椭圆方程联立，消，再借助韦达定理来解决即可.
试题解析：（Ⅰ）由题
，为的中点．
设，，则
，
，
由题
，即
，
即
（Ⅱ）由题外接圆圆心为斜边的中点
，半径
，
由题
外接圆与直线相切
，即
，即
，
，
故所求的椭圆的方程为
（Ⅲ）设，，由题异号．
设
的内切圆的半径为，则
的周长为
，
，
因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大．
，
由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，
由
得
，
由韦达定理得
，
，（
）
令
，则
，
当
时
有最大值
．此时，
，
故
的内切圆的面积的最大值为
，此时直线的方程为
考点：椭圆的方程，离心率，直线与二次曲线位置关系.