- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）已知正项数列
中，
，点
在抛物线
上．数列
中，点
在经过点
，以
为方向向量的直线
上．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若
，问是否存在
，使得
成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意的正整数
，不等式
成立，求正数
的取值范围．- 答案：（Ⅰ）
；
；（Ⅱ）存在唯一的
符合条件；（Ⅲ）
.- 试题分析：（Ⅰ）求数列
，的通项公式，可将点代入抛物线，得
，由此能求出；过点，以方向向量为
的直线方程为
，把点代入能求出；（Ⅱ）这是探索性命题，一般先假设存在，由
，利用题设条件能推导出存在唯一的符合条件；（Ⅲ）由
，知
，设
，得
，利用构造法能求出正数的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）将点代入抛物线得：
数列是等差数列．
，即
为直线的方向向量直线的斜率
，直线的方程为在直线上．
（Ⅱ）由题
①当是偶数时，
是奇数，
即
，②当是奇数时，是偶数，
即
（舍去）
故存在唯一的
符合条件．
（Ⅲ）由题
设，
则
，即数列
是递增数列．
考点：求数列通项公式，数列综合问题，数列与不等式.