- 试题详情及答案解析
- 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．
（1）求∠ADE的度数；
（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角
（
），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1，∠E2DF2 ， DE1交直线AC于点P，DF1交直线BC于点Q，DE2交直线AC于点M，DF2交直线BC于点N，求
的值；
（3）若图1中∠B=
，（2）中的其余条件不变，判断的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含
的式子表示）；如果不是，请说明理由．- 答案：（1）30°；（2）
；（3）是定值，值为
． - 试题分析：（1）由D为AB的中点，得到CD=DB，∠DCB=∠B，进一步得到∠DCB=∠B=∠CDB=60°，可以求得∠ADE=30°；
（2）先证△PMD∽△QND，过点D分别做DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，可得
，再证四边形CGDH 为矩形，得到CG=DH=AG，故有
，即
；
（3）是定值，值为．
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=DB，∴∠DCB=∠B，∵∠B=60°，∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，∴∠CDA=120°，∵
∠EDC=90°，∴∠ADE=30°；
（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，∴∠DMC+∠CND=180°，∵∠DMC+∠PMD=180°，∴∠CND=∠PMD，同理∠CPD=∠DQN，∴△PMD∽△QND，过点D分别做DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，可知DG， DH分别为△PMD和△QND的高，∴，∵DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，∴DG ∥BC，∵D为AC中点，∴G为AC中点，∵∠C=90°，∴四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG，Rt△AGD中，，即；
（3）是定值，值为．
考点：相似三角形综合题．