- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）数列
中，已知
，
时，
．数列
满足：
．
（Ⅰ）证明：为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）记数列
的前
项和为
，是否存在正整数
，使得
成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对
；若不存在，说明理由．- 答案：（Ⅰ）详见解析，
；（Ⅱ）
．- 试题分析：（Ⅰ）本题的落脚点在
上，所以首先从条件的特征入手，里面有因式
，提示我们可以考虑在条件中构造，从而使条件特征显现出来，成为解题的突破口；（Ⅱ）充分利用（Ⅰ）中的结论并结合已知求出的通项，从而求得
，将之代入题设中的不等式，通过一系列推理、化简、变形即可得出所求，变形过程应特别注意不等号两边的结构相似性．
试题解析：（Ⅰ）当时，
由
，
，即时，
，又
，
数列是首项为2，公差为2的等差数列，
由等差数列的通项公式得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，所以
，
则
，
由
，得
，
当
时，
；当
时，
综上，存在符合条件的所有有序实数对
为：．
考点：①根据递推公式，构造性求解数列通项；②等差数列的定义和通项公式；③等比数列的前项和公式；④不等式的基本性质；⑤变形、运算、比较的能力和技巧．