- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）在
中，
．
（Ⅰ）求重心G的轨迹方程
（Ⅱ）设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求
的最小值．- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．- 试题分析：（Ⅰ）因为AB、AC边上的中线长为定值9，由重心
的性质,知
，即动点G到两定点B、C的距离之和为定值6，且
，所以点轨迹符合椭圆轨迹定义，根据椭圆定义相关性质易求得点轨迹方程；（Ⅱ）据已知，点
在椭圆上，由椭圆定义可得
（定值），
，由余弦定理可得的表达式，结合相关等价变形和基本不等式可得所求．
试题解析：（Ⅰ）设
的中点分别为
（如下图所示），则据题意
,即动点G到两定点B、C的距离之和为定值6，,
点轨迹为以B、C为焦点的椭圆，据题意可设椭圆方程为
，则
，
,即
，根据椭圆的相关性质得
，
所以点的轨迹方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在椭圆上（如上图所示），由椭圆定义可得（定值），，由余弦定理可得:
，显然当
取得最大值时最小，
根据基本不等式得
，即的最大值为9，
所以的最小值为
．
考点：①椭圆的定义和性质；②椭圆的标准方程；③基本不等式；④最值求解的基本思想．