- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）已知函数
（1）当
时，判断并证明函数的单调性并求
的最小值；
（2）若对任意
，
都成立，试求实数
的取值范围.- 答案：（1）单调递增，2；（2）
.- 试题分析：
解题思路：（1）先将
的表达式进行化简，利用
与
在
都为增函数判断的单调性，再用函数的单调性定义进行证明，进而求的最小值；（2）因为父母恒为正，所以只研究分子的符号即可，采用分离常数法进行求解.
规律总结：不等式恒成立问题，一般思路将常数进行分离，将其转化为求函数的最值问题.
试题解析：（1）当a＝－1时f（x）＝
，
对任意
，
∵，∴
∴
∴f（x1）－f（x2）<0，f（x1）<f（x2）
所以f（x）在上单调递增
所以x＝1时f（x）取最小值，最小值为2
（2）若对任意x
，f（x）>0恒成立，则
>0
对任意x恒成立，所以x2＋2x＋a>0对任意x恒成立，
令g（x）＝x2＋2x＋a， x
因为g（x）＝ x2＋2x＋a在上单调递增，
所以x＝1时g（x）取最小值，最小值为3＋a，
∵ 3＋a>0，∴ a>－3.
考点：1.函数的单调性与最值；2.不等式恒成立问题.