- 试题详情及答案解析
- （本题10分）如图，抛物线
经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）抛物线的解析式为：y=
x2﹣2x﹣
；（2）P（2，﹣
）；（3）符合条件的点N的坐标为（4，﹣
），（2+
，）或（2﹣，） - 试题分析：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入，得
解得：
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣； 3分
（2）∵抛物线的解析式为：y=
x2﹣2x﹣
，
∴其对称轴为直线x=﹣
=﹣
=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴
，
解得
，
∴直线BC的解析式为y=
x﹣
，
当x=2时，y=1﹣=﹣，
∴P（2，﹣）； 3分
（3）存在．
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣
），
∴N1（4，﹣）； 2分
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N作ND⊥x轴于点D，
在△AND与△MCO中，
∴△AND≌△MCO（ASA），
∴ND=OC=，即N点的纵坐标为．
∴
x2﹣2x﹣
=，
解得x=2+
或x=2﹣，
∴N2（2+，），N3（2﹣，）． 2分
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．
考点:二次函数的综合运用