- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）如图，
是等腰直角三角形，
，
，
分别为
的中点，沿
将
折起，得到如图所示的四棱锥
．
（Ⅰ）在棱
上找一点
，使
∥平面
；
（Ⅱ）当四棱锥的体积取最大值时，求平面与平面
夹角的余弦值．- 答案：（Ⅰ）点为棱的中点；（Ⅱ）平面与平面夹角的余弦值为
． - 试题分析：（Ⅰ）首先作出辅助线即取
的中点
，连接
，由中位线性质知，∥
，
，且
∥，
．进而证明四边形
是平行四边形，即∥
．于是即可得出结论；（Ⅱ）首先运用线面关系证明
底面
，即
就是四棱锥的高，然后分别以
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，最后由二面角的平面角与法向量夹角之间的关系即可求出所求结果.
试题解析：（Ⅰ）点为棱的中点．证明如下：取的中点，连接，则由中位线定
理，∥，，且∥，．所以∥，
，从而四边形是平行四边形，∥．又
面内，
平面，故点为棱的中点时，∥平面．
（Ⅱ）在平面内作
于点
，
平面
，
又
，故⊥底面，即就是四棱锥的高．
由
知，点和
重合时，四棱锥的体积取最大值．
分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
．
设平面的法向量为
，
由
得
，即
，
可取
．
同理可以求得平面的一个法向量
．
故
，
故平面与平面夹角的余弦值为．
考点：线面平行的判定；线面垂直的判定；空间向量在立体几何中的应用.