- 试题详情及答案解析
- （本题满分15分）
数列
首项
，前
项和
与
之间满足
．
（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设存在正数
，使
对
都成立，求的最大值．- 答案：（Ⅰ）因为
时，
得 
由题意
又
是以
为首项，
为公差的等差数列．
（Ⅱ）
；(Ⅲ) 的最大值是
．- 试题分析：（Ⅰ）将已知
直接代入公式
中，即可得到，两边同除以
即可得出结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出
，运用公式即可求出数列的通项公式；(Ⅲ)记
，根据数列的单调性判断其为单调递增的，所以使得
恒成立，只需满足
即可. 而由
的单调性知，
，即可求出的最大值.
试题解析：（Ⅰ）因为时，得
由题意
又因为 是以为首项，为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
时，
又
(Ⅲ) 设
则
在
上递增 故使恒成立，只需．
又
又
，
所以，的最大值是．
考点：等差数列；数列的单调性.