- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知曲线C：
，O为坐标原点
（Ⅰ）当m为何值时，曲线C表示圆；
（Ⅱ）若曲线C与直线 
交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．- 答案：（Ⅰ）m＜5；（Ⅱ）
. - 试题分析：（Ⅰ）根据曲线方程满足圆的条件求出m的范围即可；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意OM⊥ON，得到
，利用平面向量数量积运算法则列出关系式，联立直线与圆方程组成方程组，消去x得到关于y的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，求出m的范围，利用韦达定理求出y1+y2与y1y2，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在直线x+2y﹣3=0上，表示出x1与x2，代入得出的关系式中，整理即可确定m的值．
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意可知：D2+E2﹣4F=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m=20﹣4m＞0，
解得：m＜5；
（Ⅱ）设
，
由题意OM⊥ON，得到，即: 
①，
联立直线方程和圆的方程： 
，
消去x得到关于y的一元二次方程：
，
∵直线与圆有两个交点，
∴△=b2﹣4ac=122﹣4×5×m＞0，即m+3＜
，即m＜
，
又由（Ⅰ）m＜5，∴m＜，
由韦达定理： 
，
②，
又点在直线
上，
∴
，
代入①式得： 
，即
，
将②式代入上式得到：3+m﹣+9=0，
解得：m=＜，
则m=．
考点：①直线与圆的位置关系；②根的判别式；③直线与圆的交点；④韦达定理；⑤平面向量的数量积运算.