- 试题详情及答案解析
- （满分14分）已知函数
,（
），若同时满足以下条件：
①在D上单调递减或单调递增；
②存在区间[
]
D,使在[]上的值域是[]，那么称（）为闭函数．
（1）求闭函数
符合条件②的区间[]；
（2）判断函数
是不是闭函数？若是请找出区间[]；若不是请说明理由；
（3）若
是闭函数，求实数
的取值范围.
（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增还是减函数即可）- 答案：（1）[-1，1]；（2）不是，理由略；（3）
- 试题分析：（1）易证在R上为减函数，由题意可得
，可解得
，（2）（反证法）假设函数是闭函数由函数单调增可得到a、b为方程
的两不等实根，由此推导出矛盾来否定假设；（3）由函数的单调性得到关于a、b的两个方程，通过观察易知a、b是一个方程的两不等实根，法一：根据方程根的分布情况得到关系式解出k的范围；法二：将方程的根的个数转化为两函数的图象的交点的个数，利用图象的k的取值范围.
试题解析：（1）
在R上单减，所以区间[]满足
解得
（2）不是．（反证法）假设是闭函数，又因在R上单增，
所以存在区间[]使得
，
则方程有两不等实根，即
有两个不等的实根，等价于
至少有2个零点，
令
，则易知
为R上单调递增函数，且
，
，所以
在
有零点，由在R上单调递增，知在R上有且只有一个零点，矛盾。所以假设不成立，即不是闭函数。
（3）（法一）易知在
上单调递增.
设满足条件②的区间为
，则方程组
有解，
即方程
至少有两个不同的解
也即方程
有两个都不小于的不等根.
得
，即为所求.
（法二）易知在上单调递增.
设满足条件②的区间为，则方程组
有解，
即方程至少有两个不同的解
令
则
即函数
的图象与直线
至少有两个不同交点,
如图有 
考点：函数的性质与应用