- 试题详情及答案解析
- （本题满分15分）已知椭圆
经过点
，其离心率为
，经过点
，斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）设椭圆与
轴正半轴、
轴正半轴分别相交于
两点，则是否存在常数，使得向量
与
共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）没有符合题意的常数． - 试题分析：（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率为
可得，
，即椭圆的方程为
；
又因为其图像过点
，将其坐标直接代入即可计算出参数
，即可写出椭圆的方程；（Ⅱ）首先写
出直线的方程
，然后联立直线和椭圆方程并将直线的方程代入椭圆方程整理得
，由题意知，
，即可解出的取值范围；（Ⅲ）假设
存在常数，使得向量与共线，则设
，则
，
由（Ⅱ）知
，
可用含的式子表示出来，然后根据假设可得等式关系
，
即可解出的值，最后验证的值是否满足（Ⅱ）中解出的的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率
，
，将点代入，得
，
所求椭圆方程为．
（Ⅱ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得
．
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点
和
等价于，
解得
或
．即的取值范围为.
（Ⅲ）设，则，
由方程①，
②
又
③
而
，
．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得
．
由（1）知或，故没有符合题意的常数．
考点：椭圆的综合应用；向量的共线.