- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2
，D是AB的中点．
（Ⅰ）求动点D的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
① 当|PQ|＝3时，求直线l的方程；
② 试问在x轴上是否存在点E(m,0)，使
·
恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．- 答案：（Ⅰ）x2+y2=3；（Ⅱ）﹣2 .
- 试题分析：（Ⅰ）设
，然后根据线段AB的长为
，D是AB的中点消去a与b，得到x与y的等量关系，即为动点D的轨迹C的方程；
（Ⅱ）①讨论直线l与x轴是否垂直，然后利用点到直线的距离公式建立等式关系，从而求出直线方程；
②讨论直线l的斜率是否存在，不存在时直接求
，存在时，将直线与圆联立方程组，消去y，然后设
，将表示出来，使其与k无关即可求出m的值．
试题解析：
解：（Ⅰ）设
，
∵D是AB的中点，∴x=
，y=
，
∵|AB|=，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，
∴（2y）2+（2x）2=12，∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3．
（Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，P（1，
），Q（1，﹣），此时|PQ|=2，不符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圆心C到直线l的距离为
，
由
=，解得k=±
．故直线l的方程为y=±（x﹣1）．
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），
由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，
设则由韦达定理得
，
，
则
， 
，
∴
要使上式为定值须
，解得m=1，∴为定值﹣2，
当直线l的斜率不存在时P（1，），Q（1，﹣），
由E（1，0）可得
=（0，﹣），
=（0，），
∴=﹣2，
综上所述当E（1，0）时，为定值﹣2．
考点：①向量在几何中的应用；②轨迹问题和直线和圆的方程的应用；③转化的思想和计算的能力.