- 试题详情及答案解析
- 已知函数
.
（1）若函数
为偶函数，求
的值；
（2）若
，求函数的单调递增区间；
（3）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.- 答案：（1）
；（2）函数的单调递增区间为
;（3）
.
试题分析：（1）任取
，根据
恒成立，得到
恒成立，进一步可得解.
（2）当时，可得
，
由函数的图像即得单调区间.
（3）不等式
化为
，
即：
（*）
转化得到“对任意的
恒成立”.
由于，所以分如下情况讨论：
①当
时，转化成
，根据
.
②当
时，转化成
，
由①知
，根据
，
；
③当
时，转化成
.
试题解析：（1）任取，则有恒成立，
即
恒成立
恒成立，
恒成立
（特殊值法求出酌情给分） 3分
（2）当时，
由函数的图像可知，函数的单调递增区间为。 6分
（3）不等式化为
即：（*）
对任意的恒成立 7分
因为，所以分如下情况讨论：
①时，不等式（*）化为
恒成立
即
上单调递增
只需
9分
②当时，不等式（*）化为
恒成立
即
由①知，
12分
③当时，不等式（*）化为
恒成立
即
由②得: 14分
综上所述，
的取值范围是： 15分
考点：1.应用导数研究函数的单调性；2.应用导数确定函数的最值；3.转化与化归思想.