- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）设函数
．
（1）求函数
的单调区间；
（2）已知
,
（
）是函数在
的图象上的任意两点，且满足
，求a的最大值；
（3）设
，若对于任意给定的
，方程
在
内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中
是自然对数的底数）- 答案：（1）函数的单调递增区间是
；递减区间是
；（2）3
（3）
. - 试题分析：（1）函数
在某个区间内可导，则若
，则
在这个区间内单调递增，若
，则在这个区间内单调递减；（2）利用导数方法证明不等式
在区间
上恒成立的基本方法是构造函数
，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数
，其中一个重要的技巧就是找到函数
在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（3））对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）
，（2）
，（4）解决含有参数的单调性的问题，要注意分类讨论和数形结合的思想.
试题解析：（1）
， 1分
由
，得
，该方程的判别式△＝
，
可知方程有两个实数根
，又
，故取
，
当
时，
，函数单调递增；当
时，
，函数单调递减．
则函数的单调递增区间是；递减区间是． 3分
（2）不妨设
，不等式转化为
，
令
，可知函数
在区间
上单调递减，故
恒成立，
故
恒成立，即
恒成立． 5分
当时，函数
单调递增，故当
时，函数取得最小值3，则实数
的取值范围是
，则实数的最大值为3． 7分
（3）
，当
时，
，
是增函数；当
时，
，是减函数．可得函数在区间的值域为
． 9分
令
，则
，
由
，结合（1）可知，方程在
上有一个实数根
，若
，则
在上单调递增，不合题意，可知在有唯一的解
，且在上单调递增；在上单调递减． 10分
因为
，方程在内有两个不同的实数根，所以
，且
． 11分
由，即
，解得
．
由
，即
，
，
因为
，所以
，代入，得
，
令
，可知函数在
上单调递增，而
，则
，
所以
，而
在时单调递增，可得
，
综上所述，实数的取值范围是 14分.
考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、利用导数求函数的最值；3、方程根的个数.