- 试题详情及答案解析
- （12分）已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为
。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线L与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到Ｌ的距离的
，求△AOB面积的最大值。- 答案：（1）
，（2）- 试题分析：可以巧用离心率，不妨设
，由短轴的一个端点到右焦点的距离为
，
，则
，所以椭圆C的方程为，第二步先设直线
的方程为
，联立方程组消去
后得关于
的一元二次方程，写出
，写出弦长
的表达式，又坐标原点O到Ｌ的距离的，得到一个
和
的等量关系，代入面积表达式后，借助均值不等式求出最大值即可.
试题解析：（1）不妨设
，由短轴的一个端点到右焦点的距离为，，则，所以椭圆C的方程为，
（2）设直线的方程为，坐标原点
到的距离的
，又
，消去 得：
，设
，则有
∴
由于
，当且仅当
时取等号，此时符合
当斜率不存在时，
，此时
综上所述：
考点：1.待定系数法求椭圆的方程；2.设而不求；3.弦长公式；4.均值不等式求最值；