- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知圆
经过点A（－2,0），B（0,2），且圆心在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆相交于P、Q两点．
（1）求圆的方程；
（2）若
，求实数k的值；
（3）过点
作动直线
交圆于
，
两点．试问：在以
为直径的所有圆中，是否存在这样的圆
，使得圆经过点
？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）
；（2）
；
（3）在以为直径的所有圆中，存在圆：
或，使得圆经过点
． - 试题分析：（1）根据题意设出圆心
和半径
，列出
和的方程，求得圆的方程；（2）根据,
求得
，所以圆心到直线的距离为
，求得
的值；（3）若圆经过点
，则必有
即
①，当直线的斜率不存在时，显然满足题意得圆，当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为：
，代入圆的方程，由韦达定理，得到
的值，联立①解得的值，存在所求的圆，进而得到所求的圆的方程.
试题解析：（1）设圆心C（a，a），半径为r.因为圆C经过点A（－2,0），B（0,2），所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是. 3分
（2）因为
·
＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，
所以cos∠POQ＝－
，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，
又d＝
，所以. 7分
（联立直线与圆的方程求解酌情给分）
（3）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为
，
，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆 8分
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线
，由
，
消去
整理，得
，由△
，得
或
．
设
，则有
① 9分
由①得
， ②
， ③
若存在以为直径的圆经过点，则
，所以，
因此
，即， 10分
则
，所以
，
，满足题意． 12分
此时以为直径的圆的方程为
，
即
，亦即． 13分
综上，在以为直径的所有圆中，存在圆：或
，使得圆经过点． 14分
考点：1.圆的方程；2.直线方程；3.韦达定理.