- 试题详情及答案解析
- 已知定义域为
的函数
是奇函数。
（1）求
的值；
（2）判断函数
的单调性;
（3）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围．- 答案：（1）
；（2）
在
上为减函数；（3）
.- 试题分析：（1）因为函数
定义在上的奇函数，所以对任意
，
，
；
（2）根据（1）的到的解析式，函数的单调性同过函数单调性的定义可判断，首先任取
，然后作差比较
与
的大小，得到
，进而得在上为减函数；（3）显然通过代入解不等式计算难度很大，可以通过奇偶性和单调性解不等式，首先原不等式同解
,由（2）知在上为减函数，所以原不等式只需通过解
即：
看成关于
的二次函数，且，进而只需
，求得的取值范围．
试题解析：（1）因为是奇函数，所以
=0， （2分）
即
（4分）
（2）由（1）知
， （5分）
设则
（6分）
因为函数y=2
在R上是增函数且 ∴
>0
又
>0
∴
>0即 （8分）
∴在上为减函数. （9分）
（3）因是奇函数，
从而不等式：
等价于， （11分）
因为减函数，由上式推得：． （12分）
即对一切有：， （13分）
从而判别式
（14分）
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.解不等式.