- 试题详情及答案解析
- （2014•涉县一模）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲乙两人的作法，可判断（ ）
甲：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B．C两点．
②连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形
乙：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．
②连接AB，BC．△ABC即为所求三角形．
A.甲对，乙不对 B.甲不对，乙对 C.两人都对 D.两人都不对- 答案：C
- 试题分析：甲的作法．连接DB、DC，由作图可知，DB=DO=DC，在⊙O中可知OB=OD=OC，故可得出△OBD和△OCD都是等边三角形，再根据
=，
=可知∠ODB=∠ACB=60°，∠ABC=∠ODC=60°，故可得出结论；
乙的作法，连接OB、OC．根据AD为⊙O的直径，BC是半径OD的垂直平分线，由垂径定理可知=，
=
，OE=
OD=OC，所以AB=AC．在Rt△OEC中由锐角三角函数的定义可得出cos∠EOC的值，进而可求出∠EOC的度数，进而可得出结论．
解：甲的作法．如图2；
证明：连接DB、DC．
由作图可知：
DB=DO=DC，
在⊙O中，
∴OB=OD=OC，
∴△OBD和△OCD都是等边三角形，
∴∠ODB=∠ODC=60°，
∵
=，
=，
∴∠ODB=∠ACB=60°，∠ABC=∠ODC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
乙的作法如图1，
证明：连接OB、OC．
∵AD为⊙O的直径，BC是半径OD的垂直平分线，
∴=，
=
，OE=
OD=OC，
∴AB=AC．
在Rt△OEC中，
∴cos∠EOC=
=，
∴∠EOC=60°，
∴∠BOC=120°．
∴∠BAC=60°．
∴△ABC是等边三角形．
故选：C．
点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂径定理及圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识．