- 试题详情及答案解析
- 已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．
（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．- 答案：（1）点P的坐标为（
，3） （2）
（3）4+2
或6
- 试题分析：（1）由切线的性质可得∠MPO=90°，根据勾股定理可求出PO，然后由面积法可求出PK，然后运用勾股定理可求出OK，就可得到点P的坐标；
（2）可设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，然后将点P的坐标代入就可求出抛物线的解析式；（3）直线y=m与⊙M相切有两种可能，只需对这两种情况分别讨论就可求出对应多边形的面积．
试题解析：解：（1）如图1，
∵⊙M与OP相切于点P，
∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．
∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，
∴OP=2．
∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，
∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．
∴OK⊥PQ，QK=PK．
∴PK=
=
=．
∴OK=
=3．
∴点P的坐标为（，3）．
（2）如图2，
设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，
∵点P（
，3）在抛物线y=ax2+6上，
∴3a+6=3．
解得：a=﹣1．
则该抛物线的解析式为y=﹣x2+6．
（3）当直线y=m与⊙M相切时，
则有
=2．
解得；m1=2，m2=6．
①m=2时，如图3，
则有OH=2．
当y=2时，解方程﹣x2+6=2得：x=±2，
则点C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．
同理可得：AB=2
．
则S梯形ABCD=
（DC+AB）•OH=（4+2）×2=4+2．
②m=6时，如图4，
此时点C、点D与点N重合．
S△ABC=
AB•OC=×2×6=6．
综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2或6
考点：切线的性质，勾股定理，二次函数的图像与性质，梯形及三角形的面积