- 试题详情及答案解析
- （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．
（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；
（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请求出点Q 坐标；如果不存在，请说明理由- 答案：（1）作图详见解析（2）点P坐标为（1，－1）；（3）（－2，－2），（2，－4）
- 试题分析：（1）如图1所示：
（2）如图2，过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE．
∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．
∵OB=4，∴OD=OB﹣BD=1．
∴PE=OD=1．
设DP=x，则OE=PD=x．
在Rt△BPD中，BP2=x2+32．
在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12．
∵BP=CP，
∴x2+32=（x+2）2+12．
解得：x=1．
∴点P坐标为（1，﹣1）．
（3）如图2，连接BP并延长到⊙P于一点Q1，连接CQ1，
则BQ1是直径，
∴∠Q1CB=90°，
又∵∠CAB=∠CQ1B，
∴△Q1BC∽△ACO，
此时连接AQ1则∠Q1AB=90°，
∴Q1横坐标为：﹣2，
∵AB=6，BQ1=2BP=2
，
∴AQ1=2，
∴Q1（﹣2，﹣2），
同理构造直角三角形CFQ2，
可得出：CF=6，CQ2=2，
∴FQ2=2，FO=4，
则Q2（2，﹣4），
综上所述：⊙P上存在一点Q（﹣2，﹣2），（2，﹣4），使得△QBC与△AOC相似．
考点:圆的综合题