- 试题详情及答案解析
- 已知函数
（其中
是自然对数的底数），
，
．
（1）记函数
，且
，求
的单调增区间；
（2）若对任意
，
，均有
成立，求实数
的取值范围．- 答案：（1）
的单调增区间为
和
；（2）
．- 试题分析：（1）利用导数求函数的单调区间即可；（2）讨论函数的单调性，去掉绝对值符号，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题.
试题解析：（1）因为
，
所以
，
令
，因为，得
或
，
所以的单调增区间为和；
（2）因为对任意
且，均有
成立，
不妨设
，根据在上单调递增，
所以有
对恒成立，
所以
对，恒成立，
即
对，恒成立，
所以
和
在都是单调递增函数，
当
在上恒成立，
得
在恒成立，得
在恒成立，
因为
在上单调减函数，所以在上取得最大值
，
解得
．
当
在上恒成立，
得
在上恒成立，即
在上恒成立，
因为
在
上递减，在
上单调递增，
所以在上取得最小值
，
所以
，
所以实数的取值范围为．
考点：1.导数的应用；2.不等式恒成立问题．